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Cinemática 14. Ejemplos del MUA que promueven la deducción. © David Gómez Salas

14. Ejemplos del MUA que promueven la deducción

El ejemplo de la persecución en motocicleta

Por una calle de la ciudad circula un automóvil a 100 km/hr, un agente de tránsito observa que el automóvil viene a exceso de velocidad, así que se sube a su motocicleta y arranca justo en el momento que el automóvil pasa por el punto en que él se encuentra.

El auto corre a una velocidad constante de =  108 km/hr

El motociclista inicia la persecución a partir de una velocidad inicial igual a cero y aplica constantemente una aceleración de 1.5 m/s2.  El motociclista se pone en movimiento exactamente en el momento en que pasa el auto frente a él.

Pregunta:

Determine en que tiempo el motociclista alcanza al automóvil.

El alumno debe deducir cual es la clave para encontrar la solución

¿Que observa?  ¿Que requisito se debe cumplir?

Es evidente que para que el motociclista alcance al automovilista debe recorrer la misma distancia. Si es menor no lo alcanza y si es mayor lo habrá rebasado

¿Cómo se expresa esta condición?

Sea d1 la distancia que recorre el automovilista

Sea d2 la distancia que recorre el motociclista

d1 = d2

Otra observación:

El motociclista 2 inicia la persecución justo al momento que el auto pasa frente él. Así que el auto no recorre distancia alguna antes de que el motociclista inicie su movimiento

Sea t el tiempo que tarda el motociclista en alcanzar al automovilista. De acuerdo al Movimiento Rectilíneo Uniforme, la distancia que recorre el automovilista se expresa en la forma siguiente:

v = 100 km/hr = (108,000 m) / (3600 seg/hr) =  30 m/s

La distancia recorrida por el automovilista se expresa en la forma siguiente:

d1 = vt por lo tanto v = 30t

La distancia que recorre el motociclista, se expresa en la forma siguiente:

d2 = at2/2 por lo tanto d2 = 1.5 t2/2 = 0.75 t2

d1 = d2

30t = 0.75 t2

30 = 0.75 t

t = 30/0.75 = 40 segundos

Para verificar esta respuesta se calcula la distancia que recorre el automovilista y la distancia que recorre el motociclista.

d1 = vt

d1 = (30 m/s)(40 seg) = 1,200 m

d2 = 0.75 t2

d2 = 0.75 (40)2 = 0.75(1,600) = 1,200 m

Se comprueba que d1 = d2

El ejemplo de la manguera

Una manguera de media pulgada de diámetro ubicada a 81  centímetros de altura del piso, descarga agua en dirección horizontal y el agua cae al suelo a una distancia horizontal de 95 centímetros del punto de descarga, Tal como el experimento realizado en la clase de Física.

h = 81 cm

d = 91 cm

Determine cuantos litros de agua descargará la manguera en 20 segundos

Datos

h = Altura de la manguera = 81   cm

h = Altura de la manguera = 0.81 m

d = Distancia horizontal al caer el agua = 95 cm

d= Distancia horizontal al caer el agua = 0.95 m

Nomenclatura

h = Altura de la caída libre

h = gt^2/2

d = Distancia horizontal de la caída del agua

d = vt

g = Aceleración de la gravedad   9.81   m/(seg^2)

v = velocidad horizontal a la que sale de la manguera

t = Tiempo en caer Incógnita

Solución

El alumno debe deducir cual es la clave para encontrar la solución

¿Que observa?  ¿Que requisito se debe cumplir?

Es evidente que una gota de agua recorrerá 81 cm verticalmente por caída libre y 91 cm horizontalmente porque sale de la manguera a velocidad constante, en el mismo tiempo.

¿Cómo se expresa esta condición?

Ecuaciones

Movimiento Rectilíneo Uniforme, la velocidad horizontal del agua en la manguera. Tiempo que tarda en recorrer  91 centímetros.

t1 = d/v

Movimiento Uniformemente Acelerado, la caída libre del agua. Tiempo que tarda en recorrer 81 cm de altura.

t2 = (2*h/g)^0.5

t1 =  t2

d/v = (2*h/g)^0.5

Despejando v (velocidad horizontal)

d/ ((2*h/g)^0.5) = v

Cálculo de velocidad  horizontal

v = d/ ((2h/g)^0.5)   = 0.91/ ((2*h/g)0.5 = 2.3378 m/s

Caudal de agua Q = vA

v.- Velocidad horizontal del agua que sale de la manguera

A.- Área de la sección circular de la manguera por la que sale el agua

Cálculo del Área de la manguera

Diámetro de la manguera  = 0.5 en pulgadas

Diámetro de la manguera = 0.0127 en m

Radio de la manguera = 0.00635 en m

A = Área de la manguera = PI*r^2 = 0.000126677 m2

Cálculo de Q, el caudal que sale de manguera

Q = vA = (2.3378 m/s )(0.000126677 m2) = 0.000296141   m3/s

Q = Caudal que sale de manguera = 0.2961l/s

En el experimento realizado en clases, se recolectó durante 30 segundos el agua que salió de la manguera en una cubeta.

Calculo del volumen de agua recolectada en 30 segundos

Diámetro de la cubeta = 28.5 = cm

Diámetro de la cubeta = 0.285 m

Radio de la cubeta  = 0.1425 m

Radio de la cubeta  = 1.425 dm

Área de la base de la cubeta

A = PI*r^2 = 6.3794  dm2

Altura (nivel) del agua en la cubeta = 14 cm

Altura (nivel) del agua en la cubeta = 1.4 dm

Volumen de agua recolectada en la cubeta

V = A*h = ( 6.3794  dm2)( 1.4 dm)=  8.9312 dm = 38.9312 litros

Cálculo del caudal del agua, a partir del volumen de agua recolectado en la cubeta:

Volumen de agua recolectado = 8.9312 litros

Tiempo de recolección = 30 segundos

Caudal = Volumen recolectado / tiempo de recolección

Caudal = 8.9312 litros / 30 segundos = 0.2977 l/s

La diferencia entre el caudal calculado mediante ecuaciones y el caudal medido experimentalmente es mínima. Se debe a que las condiciones de experimentación no fueron en condiciones perfectamente controladas.

7. Una jabalina sale a una velocidad de 40 m/s con dirección de 30 grados con la horizontal

d = distancia en x

Velocidad inicial

= 40 m/s

φ = Ángulo de 30°

con la horizontal

Pregunta:

Determine la distancia horizontal, en metros, que recorre la jabalina; desde que sale hasta que cae a la misma altura en que fue lanzada por el atleta. Para simplificar el problema asuma las condiciones que se presentan en la figura.

Velocidad inicial = 40.0 m/s

Ángulo con la horizontal φ en grados = 30.0

Cos de φ = 0.8660

Sen de φ =   0.50

Velocidad inicial horizontal

v cos30° = (40)(0.866) = 34.64 m/s

Velocidad inicial vertical

v seno 30° = (40)(0.5) = 20 m/s

La distancia horizontal recorrida se calcula como Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU.

x = 34.64t

Distancia vertical recorrida se calcula como Movimiento Uniformemente Acelerado, MUA.

y = Vit - gt^2/2

El alumno debe deducir cual es la clave para encontrar la solución

¿Que observa?  ¿Que requisito se debe cumplir?

Es evidente que el ascenso de la jabalina es frenado por la fuerza de atracción de la tierra cuya aceleración de la gravedad es 9.81 m/s2.

Así que la velocidad vertical inicial de ascenso de 20 m/s de la jabalina va disminuyendo hasta ser igual a cero, para dejar de subir y empezar a descender (caer).  Lógicamente que al caer alcanzará nuevamente la velocidad  vertical de 20 m/s.

¿Cómo se expresa la condición de que se detiene el ascenso de la Jabalina?

Vf = Vi -gt

0 = 20 - 9.81t

9.8t = 20

t = 20/9.81 = 2.0387 segundos

t = tiempo en que transcurre en detener su ascenso

El tiempo total que tarda la jabalina en el aire es el tiempo de ascenso y descenso, por lo tanto.

t total = 2(2.0387) = 4.0775 segundos

Durante todo este tiempo de ascenso y descenso, la jabalina avanza horizontalmente a una velocidad constante de 34.64 m/s.

x = 34.64t = (34.64) (4.0775) = 141.2478 m

Si se desea conocer la máxima altura que alcanza la jabalina, esta se puede calcular de la manera siguiente:

Un camino es a partir de la caída libre, considerando el tiempo que tarda en caer después de que deja de ascender.

y = gt^2/2  = 9.81(2.03872)/2 = 20.3874 m

Otro camino es a con la fórmula de la distancia, considerando el tiempo que tarda la jabalina en detener su ascenso debido a la fuerza de la gravedad.

y = Vit - gt^2/2 = 20(2.0387) - 9.81(2.03872)/2 = 20.3874 m

Física y Química, Matemáticas

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