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Matematicas

Una nueva teoría matemática revela la naturaleza de los números

Durante siglos, algunos de los matemáticos más importantes han tratado de dar sentido a las particiones de los números, la base para sumar y contar. Muchos matemáticos han añadido piezas importantes al puzzle, pero todos se quedaron cortos al tratar de ofrecer una teoría completa que explicase las particiones. Por el contrario, su trabajo ha generado más preguntas sobre esta área fundamental de las matemáticas. Ahora, Ken Ono, matemático de la Universidad de Emory, ha desvelado nuevas teorías que responden a los interrogantes. Ono y su equipo de investigación han descubierto que las particiones de un número se comportan como fractales. De esta forma, han desarrollado una teoría matemática para «ver» su súper estructura infinitamente repetida. Así, han ideado la primera fórmula finita para calcular las particiones de cualquier número. El trabajo ha sido patrocinado por el Instituto Americano de Matemáticas (AIM) y la Fundación Nacional de Ciencia.
«Nuestro trabajo trae ideas completamente nuevas a estos problemas», dice Ono. «Hemos demostrado que las particiones de números son ‘fractales’ para cada primo. Nuestro procedimiento de “aumento” resuelve varias conjeturas abiertas, y cambiará la forma en que los matemáticos estudian las particiones».
«Ken Ono ha logrado unos avances absolutamente sobrecogedores en la teoría de particiones», asegura George Andrews, profesor de la Universidad Estatal de Pennsylvania y presidente de la Sociedad Matemática Americana. «Ha demostrado propiedades (…) asombrosas. Es un fenómeno»
Un juego de niños
A primera vista, las particiones de números parecen un juego de niños. La partición de un número es una secuencia de enteros positivos que se suman para formar ese número. Por ejemplo, 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1. Por lo que decimos que hay cinco particiones para el número 4. Suena simple, y aún así la partición de números crece a un ritmo increíble. La cantidad de particiones de 10 es 42. Para el número 100, la partición explota a más de 190 millones.
«La partición de números es una loca secuencia de enteros que rápidamente se va a infinito», señala Ono. «Esta provocadora secuencia genera asombro, y ha fascinado desde hace mucho a los matemáticos». Hasta el avance del equipo de Ono, nadie había sido capaz de desvelar el secreto del patrón complejo subyacente a este rápido crecimiento.
A principios del siglo XX, Srinivasa Ramanujan y G. H. Hardy inventaron el método del círculo, el cual arrojaba la primera buena aproximación a las particiones de números por encima de 200. «Es como Galileo inventando el telescopio, permitiéndote ver más allá de lo que se ve a simple vista, aunque la visión es tenue», apunta Ono. En 1937, Hans Rademacher encontró una fórmula exacta para el cálculo de valores de particiones. Aunque el método era una gran mejora respecto a la fórmula exacta de Euler, requería sumar infinitamente muchos números que tienen infinitas cifras decimales. En las siguientes décadas, los matemáticos han seguido trabajando sobre estos avances, añadiendo más piezas al puzzle. Ono batalló con los problemas durante meses y su eureka llegó en septiembre, cuando estaba de excursión con sus colegas en las Cataratas Tallulah, en el norte de Georgia. Cuando andaban entre los bosques, notando los patrones en los cúmulos de árboles, pensaron que podría ser similar a «andar» entre las particiones de números. Se echaron a reír. Ya casi lo tenían.
El trabajo de Ono y sus colegas ha dado como resultado dos artículos disponibles en la web de la AIM.

Cortesía ABC,España

Matematicas

El padre de la ‘geometría fractal’

Acuñó el término geometría fractal y fue pionero en ese campo de las matemáticas. Benoit Mandelbrot, polaco de nacimiento y de nacionalidad francoestadounidense falleció el pasado 14 de octubre en Massachusetts (EEUU) a los 85 años. Según informó su esposa, el prestigioso científico padecía cáncer de páncreas.

El “padre” de la geometría fractal, las ‘matemáticas de lo irregular’, desarrolló sus ideas mientras intentaba determinar la longitud de las costas británicas, y logró aplicar sus conocimientos de las matemáticas a otras áreas, como el precio del trigo o el crecimiento de los cerebros de los mamíferos.

Mandelbrot nació en Varsovia el 20 de noviembre de 1924 y se trasladó de niño con su familia a Francia. Durante la Segunda Guerra Mundial, pasó sus días trabajando en el campo. Posteriormente, Mandelbrot realizó estudios tanto en París como en EEUU, aunque fue en Francia donde recibió su doctorado, en 1952.

Un matemático divulgador
Autor de varios libros, Mandelbrot popularizó su obra también a través de charlas públicas y en 1958 comenzó una fructífera carrera con la empresa IBM hasta su jubilación en 1987. Tras su jubilación de IBM, Mandelbrot fue catedrático de matemáticas en la Universidad Yale, donde regresó tras jubilarse en 2005.

Mandelbrot también ocupó diversos puestos en el Pacific Northwest National Laboratory, la Universidad Lille Nord de Francia, el Instituto para Estudios Avanzados y el Centro Nacional de Investigaciones Científicas.

El término ‘fractal’, del latín ‘fractus’, roto, fue acuñado por Mandelbrot en 1975. Según el gabinete de comunicación i-Math, recuerda que una de sus últimas intervenciones fue en el Congreso Internacional de Matemáticos ICM2006, que se celebró en Madrid. Durante este encuentro explicó así el significado de este término: “Salvo unas pocas excepciones, como el ojo o la Luna, las formas de la naturaleza son rugosas, irregulares, no homogéneas ni simples. Y [hasta el estudio matemático de los fractales] las matemáticas se han concentrado siempre en figuras simples. Me siento muy afortunado por trabajar en las matemáticas de lo irregular”.

Para algunos matemáticos los fractales son como la vida, en el sentido de que se conoce la lista de sus propiedades pero es difícil dar con una descripción universal y absoluta de ‘fractal’. Una de sus propiedades consiste en que la estructura de sus partes es similar -no necesariamente idéntica- a la del conjunto entero. Algunos ejemplos son un árbol, con sus ramas; una coliflor, aparentemente formada por un sinfín de minicoliflores unidas; la línea de costa de un país…

Múltiples aplicaciones prácticas
La relación de los fractales con el infinito es peculiar. Lo ilustra la llamada ‘paradoja de la costa’. Quien intente medir el litoral obtendrá un resultado distinto en función del grado de detalle al que aspire: si tiene en cuenta sólo el contorno de las bahías o si va midiendo cada roca, cada piedrecita, cada grano de arena… En un fractal ideal el litoral – cualquier contorno rugoso, en realidad- llegaría a hacerse infinito.

En las últimas décadas los fractales han tenido un gran número de aplicaciones prácticas en múltiples ámbitos. En muchos dispositivos modernos las antenas son fractales porque son mucho más eficientes. Si las paredes de las casas fueran fractales reflejarían el ruido, y de hecho ya hay patentes de muros fractales con textura rugosa que absorbe el ruido en vez de reflejarlo.

Asimismo, ya existe un nuevo cemento basado en materiales fractales que impiden que el agua entre y deteriore la estructura del edificio; elementos de microelectrónica con estructura fractal… “Los fractales se están volviendo cada vez más útiles”, afirmó Mandelbrot.

Cortesía elmundo.es

Matematicas

La ecuación de Drake para encontrar a la pareja ideal

La Ecuación de Drake es una fórmula matemática propuesta por el radioastrónomo y presidente del Instituto SETI Frank Drake para estimar la cantidad de civilizaciones en nuestra galaxia que podrían emitir señales de radio. Ésa era su función principal, hasta que el economista Peter Backus, algo traumatizado por su propia experiencia personal -no era capaz de «sentar la cabeza» y formalizar una relación-, le dio un nuevo uso mucho más prosaico: elaboró una ecuación semejante que revela las posibilidades de dar con la pareja ideal.
La Ecuación de Drake, concebida en 1961, fue aceptada por la comunidad científica como la primera aproximación teórica a la búsqueda de civilizaciones extraterrestres. Su resultado depende de varios factores, como la formación de estrellas adecuadas en la galaxia, el número de éstas que tienen planetas en su órbita y la fracción de esos planetas donde la vida inteligente puede haber desarrollado una tecnología e intenta comunicarse con otras civilizaciones. Otros científicos y aficionados han intentado elaborar formulas parecidas pero aplicables a problemas muy diferentes.
La más llamativa es la del economista Peter Backus, según explican en el portal de ciencia y tecnología NeoTeo. Su fórmula aplica las matemáticas para estimar cuáles son sus posibilidades de conseguir novia. El resultado forma parte de su estudio «Why I don’t have a girlfriend: An application of the Drake Equation to love in the UK» (Por qué no tengo una novia: Aplicación de la ecuación de drake en el amor en U.K.). En lugar de estrellas y planetas, tienen en cuenta parámetros como la edad de las candidatas o que sean o no atractivas.
Atractiva, joven y universitariaLa solución de la Ecuación de Backus juega con los siguientes parámetros: la mujer debe ser atractiva, tener entre 24 y 34 años y poseer un título universitario. También estima que hay una posibilidad entre 20 de que ella lo encuentre a él mismo atractivo -condición indispensable para que la pareja pudiese formarse- y una de dos de que ella sea soltera. Como resultado obtuvo que, de los 30 millones de mujeres que viven hoy en el Reino Unido, sólo 26 eran las adecuadas. «Una noche cualquiera, en Londres, tengo solo un 0,0000034% de posibilidades de encontrarme con una de estas personas especiales», se lamenta Backus. Por lo visto, el economista ya ha resuelto sus problemas amorosos, a pesar de la baja probabilidad de la fórmula. Puedes colocar tus parámetros en la Ecuación de Backus y calcular tus propias oportunidades de abandonar la soltería. Es aplicable tanto a hombres como a mujeres.
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Cortesìa de ABC, España

Matematicas

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