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Mandelbrot, domador de fieras matemáticas

Por qué tienen las coliflores forma de nube? Las preguntas infantiles a menudo revelan misterios que los adultos, a fuerza de habernos acostumbrado al mundo, hemos dejado de ver. Por supuesto que podemos desembarazarnos fácilmente de ellas. Decimos, por ejemplo, que todas las nubes son diferentes y que algunas no se parecen en absoluto a una coliflor, y añadimos que en realidad no se puede hablar de la forma de algo tan variable e irregular. Las nubes no tienen una forma, sino cualquier forma. Por eso, a veces parecen coliflores y a veces ovejas o señores barbudos. Dicho esto, volvemos a nuestros quehaceres cotidianos sin haber tenido que responder “no lo sé”.

Sin embargo, algo tendrán en común las nubes si somos capaces de reconocerlas como tales, y ocurre lo mismo con montañas, ríos, costas, árboles y muchos otros fenómenos naturales, como el rayo. Aunque en el colegio no aprendiéramos los nombres de estas figuras, las utilizábamos constantemente, pues dibujábamos la luna con un círculo, pero el rayo como una grieta cruzando el cielo.

¿En qué consiste la forma de un árbol si no existen dos árboles idénticos? La respuesta a esta pregunta, que recuerda a las de Platón, no fue posible hasta los estudios de Benoît B. Mandelbrot. Su libro más conocido, La geometría fractal de la naturaleza, comenzaba con las siguientes palabras:

“¿Por qué se suele decir que la geometría es fría o seca? Una razón reside en su inhabilidad para describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza del árbol no es suave, y tampoco viaja el rayo en línea recta”.

Mandelbrot se dio cuenta de que todos estos fenómenos eran en algún sentido autosimilares. Si cortamos una coliflor, por ejemplo, encontramos que cada parte parece una coliflor más pequeña, que a su vez se puede subdividir en diminutas coliflores. Del mismo modo, cada pico de una montaña es, cuando nos acercamos, como una pequeña montaña con sus picos, que están formados también por picos menores y así sucesivamente. El mismo principio nos permite utilizar una rama de pino para representar un pino en el belén, puesto que la rama se asemeja al árbol completo.

Los matemáticos ya conocían la propiedad de autosimilaridad (o autosemejanza) mucho antes de la obra de Mandelbrot. La línea recta era un caso bien conocido. Al dividirla, obtenemos líneas rectas. También se habían estudiado formas más complejas, como la curva de Koch y el espacio de Peano, con implicaciones tan sorprendentes y extravagantes (como veremos a continuación) que fueron almacenadas como curiosidades patológicas, consecuencias de una especulación teórica que nada tenía que ver con el mundo real. Mandelbrot emprendió la tarea de convertir esta galería de monstruos matemáticos en un museo de la ciencia, en el que elementos geométricos considerados hasta entonces aberrantes se revelaban como la clave para entender muchos aspectos del mundo natural.

Costas y dimensión fractal

Centremos nuestra atención en la curva de Koch dibujada junto a estas líneas. Se ha marcado en rojo un fragmento que reproduce a escala la forma de la imagen entera. No hay duda de que se trata de una curva abrupta (Mandelbrot se resistía a llamarla irregular porque su construcción se realiza, al fin y al cabo, siguiendo una regla sencilla muy bien definida). A pesar de que es imposible medir su longitud utilizando una regla, se puede intentar determinar por un método indirecto. Primero, escogemos una vara de extensión conocida y contamos cuántas veces cabe a lo largo de la figura. A continuación, repetimos el proceso con una vara más corta. Ésta se ajustará mejor a los salientes que la anterior, por lo que obtendremos una distancia mayor. Al escoger varas cada vez menores, la longitud medida debería aproximarse cada vez más a la longitud real de la curva.

Sorprendentemente, mediante este procedimiento no nos acercamos a ningún valor concreto sino que, a medida que escogemos varas más diminutas, la longitud que observamos aumenta sin límite, y se puede demostrar rigurosamente que la extensión de la curva de Koch es de hecho infinita, aunque el área que queda debajo (en gris) sí tiene un valor numérico limitado.

Los datos de costas reales muestran las mismas características. Cuando se utilizan escalas más precisas, y se tienen en cuenta los cabos y bahías que pasaban desapercibidos en mapas de áreas mayores, el número de kilómetros de costa crece sin límite aparente. A los constructores de hoteles de playa quizás les desilusione averiguar que, si bien la longitud de las costas se puede hacer tan grande como uno desee (utilizando el metro adecuado), el área de las playas delimitadas por ellas sigue sin ser infinita.

Concediendo que no se puede definir con precisión cuál es la extensión del contorno de una isla, Mandelbrot demostró que era posible comparar unas con otras, siempre que se aceptara que, en lugar de tener dimensiones cero, uno o dos como corresponde, respectivamente, al punto, la línea y el plano, estas formas tenían dimensiones que no eran números naturales. Así, la curva de Koch tiene dimensión 1,26 y la costa oeste de Gran Bretaña 1,25. Esta noción (conocida como dimensión Hausdorff) permite definir los conjuntos fractales como aquellos con dimensiones Hausdorff entre medias de dos números naturales. En infografía se utiliza a menudo este descubrimiento, porque la creación de imágenes realistas de montañas, nubes y plantas exige solamente el conocimiento de un número tomado de la naturaleza: la dimensión fractal del fenómeno.

Cortesía Fronterad.es

Ciencia

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