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Me llevo matemática

Me llevo matemática suele ser un verdadero problema en el verano. Las vacaciones en familia, los viajes a la costa, a la montaña o al campo, se mezclan con la preocupación por la lista de ejercicios, las clases particulares, el desgano, la incertidumbre. ¿Puede un chico aprender en el verano lo suficiente para aprobar el examen de marzo? ¿Es posible revertir en un par de meses el rechazo por los números? ¿Cuánto tiempo es necesario, a los quince años, para desandar el camino que desde el comienzo de primaria convenció a alguien que es imposible entender la matemática? ¿Qué malentendidos matemáticos pueblan las experiencias de años en la clase de matemática? ¿Es posible diseñar actividades para los chicos que ayuden a poner en evidencia cuáles son las verdaderas cuestiones matemáticas que no quedaron claras? ¿La solución depende de las “explicaciones” del profesor particular o de lo que pueda “hacer” el estudiante acompañado de un docente que le ayude a interpretar lo que hace?  ¿O es cuestión de “repetir” una y otra vez las cosas como se trabajaron en clase durante los años escolares? ¿Es posible en los cortos meses del verano contactar a los chicos con La Matemática Clara que les permita volverse protagonistas de su propio aprendizaje?

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Clases de números

Para que un artista sea genial, debe ser un buen observador de lo cotidiano. Del mismo modo, se necesita un matemático muy comprometido con la realidad para crear una teoría abstracta que fundamente la resolución de problemas de todos los días. He aquí algunos ejercicios que permiten asir la noción de número en forma inequívoca y concreta.

Las primeras clases de mi escuela secundaria trataban sobre los números naturales y en ellas aprendí sus operaciones y relaciones, cálculos y propiedades. Pero después la profesora nos salió con que las cuentas de restar que no podíamos resolver porque el minuendo es menor que el sustraendo, tenían solución con sólo inventar los números negativos. Recuerdo que esos números con un menos adelante nos hacían sentir importantes, era como que al llegar a la conclusión 4 - 7 = -3, teníamos la impresión de que en la escuela secundaria se aprendían cosas nuevas y difíciles. Y nos dedicábamos a trabajar con paréntesis, corchetes, llaves, ecuaciones, todo como antes pero con herramientas más poderosas que nos permitían sacar más resultados que antes. Así que la idea de que los números naturales no resuelven todas las restas y los enteros sí, que los naturales son números para primaria y los enteros para secundaria, que los naturales son “algo defectuosos” y los enteros son para estudiantes más avanzados, se confirmaba a diario.

En cuarto año (de mi escuela secundaria) explicaron las “sucesivas ampliaciones del campo numérico” con el siguiente cuadro:

Es decir, que los números más elementales son los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8….

Como entre ellos no siempre es posible la resta, agregamos los números negativos y todos ellos reciben el nombre de números enteros. Pero estos números no resuelven todas las divisiones, así que ampliamos con los fraccionarios obteniendo así los números racionales. En este nuevo campo numérico no tienen solución todas las raíces así que para resolverlas aparecen los números irracionales con los que en total formamos los números reales. Con este punto de vista cada clase de números toma a los anteriores como casos particulares y los números reales resolverían todos los problemas que resuelven los anteriores y algunos más.

Ya en el profesorado, la Aritmética empezaba de nuevo desde el principio en una materia llamada Álgebra. Sólo que, para esa época (el año 1967, pleno auge de la Matemática Moderna), antes de la teoría de número estudiábamos la Teoría de los Conjuntos, que daba una base rigurosa para definir los números naturales como cardinales de conjuntos. Luego se definía a los enteros como un nuevo conjunto distinto de los anteriores. A continuación, los racionales como un conjunto diferente de los enteros y de los naturales. Es decir que cada clase no incluía a las anteriores como me habían asegurado en la escuela secundaria.

Como estudiar Álgebra en el profesorado era demostrar todas las propiedades en largos y complicados teoremas y no se dedicaba tiempo a los cálculos (porque se suponía que todos los que cursábamos dominábamos la operatoria por complicada que fuera), podía pensarse que la diferencia que existía entre lo que decía la profesora de secundaria y el profesor de Álgebra, se debía a que las consideraciones teóricas eran sólo una teoría formal, un desarrollo coherente para formar alumnos de matemática superior, pero que no eran necesarios para cualquiera que quisiera resolver problemas de cálculo elemental.

En los años que siguieron, la década de los setenta, empezaron a aparecer textos de matemática para la escuela secundaria desarrollados sobre la base de la Teoría de Conjuntos y con la aritmética que me enseñaron en el profesorado. Así que nada de ampliar el campo numérico agregando los números negativos a los naturales para obtener los enteros, sino que los enteros, tanto positivos como negativos, y hasta el cero, eran diferentes de los naturales.

Mucho tiempo ha pasado de esto, hubo una época en que los textos para la escuela media desarrollaron la aritmética sobre la base de la matemática pura, la tendencia actual es obviar los tecnicismos conjuntistas, pero en las clases de matemática se sigue hablando de “ampliaciones del campo numérico”. Las consecuencias en el aprendizaje son obvias: los chicos obtienen una práctica disociada de la teoría. Ellos se preguntan para qué esa teoría tan complicada si después los ejercicios se resuelven de otra manera. Y, lo que es más grave, no distinguen unos números de otros. Los chicos dicen: ¿para qué perdimos tiempo con los números naturales si los reales son todos lo que importan?

La duda que está detrás de todo esto se refiere al valor de la matemática teórica. ¿En la práctica los naturales son enteros positivos? La teoría que dice que 3 no es lo mismo que +3, ¿es una manera elegante y retorcida de hablar de los matemáticos, un tema de interés para un alumno universitario de matemática pero que no le sirve para nada a un alumno de la EGB que no piensa seguir estudiando ciencias exactas?

Como perteneciente al grupo de los fanáticos de la ciencia de los números debo reconocer que me divierten mucho los desarrollos teóricos pero, para ser honesta, tengo que admitir que no creo que los creadores de la matemática pura hagan sus teorías sólo porque son bonitas. Creo más bien que esos científicos interpretan matemáticamente los conceptos cotidianos que tienen que ver con la aritmética. No tenemos que olvidar que la matemática que respalda las clases de equivalencia entre números enteros es la misma que garantiza los resultados que se obtienen en la caja registradora del supermercado y los cálculos con material concreto que hace un nene de seis años.

Una ejercitación develadora

Con estas inquietudes empecé a buscar una manera de interpretar, con situaciones concretas elementales, esa aritmética para la cual los números naturales, los enteros y los racionales son conceptos diferentes.

La lista de problemas que aparecen a continuación tienen como objetivo mostrar situaciones que se resuelven sólo con naturales, sólo con enteros o sólo con racionales. Este trabajo lo he usado con buenos resultados tanto con adolescentes de la antigua escuela media o de ingreso a la universidad, como con maestros y profesores. Para los chicos representa una posibilidad de diferenciar las clases de números y para los docentes una sugerencia para plantear estos contenidos a sus alumnos.

Fanáticos de las ciencias: presentarse

Preguntas

Resolver los siguientes problemas y decir en cada caso si se trata de números naturales, enteros o racionales. En los casos en que no haya solución justificar la respuesta.

1. Prendí un distintivo a cada alumno de mi escuela en su guardapolvo. No sé cuántos alumnos hay ni cuántos distintivos pero puedo afirmar que había la misma cantidad. ¿Por qué?.

2. Tengo 6 libros y 8 libros más. ¿Cuántos hay en total?.

3. Tengo 26 manzanas en una caja. Debo entregar 15 de ellas a Juan y 15 a Pedro. ¿Cuántas manzanas quedarán en la caja?.

4. Mary tiene tres remeras y dos pantalones, ¿cuántos conjuntos distintos de pantalón y remera puede formar?.

5. Repartir 26 alumnos en dos aulas de manera que haya igual cantidad en las dos. ¿Cuántos hay en cada aula?.

6. Repartir 31 alumnos en dos aulas de manera que haya igual cantidad en las dos. ¿Cuántos hay en cada una?

7. Debo repartir 3 manzanas entre cuatro niños de modo que no sobre nada y a cada niño le toque igual cantidad. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?.

8. Repartir 8 relojes en partes iguales y sin que sobre ninguno entre 4 personas . ¿Cuántos le corresponden a cada uno?.

9. Idem anterior para 5 relojes y cuatro personas.

10. ¿Entre cuántos chicos repartí tres manzanas de modo que no le tocó nada a cada uno?.

11. Ana baja de un micro de larga distancia y se encuentra con Silvia; se saludan y comentan:

Ana: he subido 9 estaciones atrás en un micro de la misma línea que tú.

Silvia: yo también viajé la misma cantidad de estaciones que tú por la misma ruta.

Ana: ¡Pero no venimos del mismo lugar! ¿Cómo es posible?

12. En un edificio de 20 pisos y 5 subsuelos salgo del tercero en ascensor y recorro 6 pisos. ¿Adónde llegué?.

13. Me desplazo en línea recta 45 pasos de igual longitud; luego vuelvo en dirección contraria 52 pasos. ¿A cuántos pasos del punto de partida llegué?.

14. Subí 34 escalones dando saltos de tres escalones cada uno. ¿Cuántos saltos di?.

15. Se reparten en partes iguales 6 barras de chocolate de igual tamaño entre 2 personas sin que sobre nada. ¿Cuánto le corresponde a cada una?.

16. Ídem anterior para 6 chocolates y 5 personas.

17. Cortaron una cinta en diez partes de igual largo. A Juan le dieron 3 partes y a Pepe le dieron 5. ¿Cuál recibió más?

18. 7 litros de agua se repartieron en 20 frascos en cantidades iguales. 7 metros cuadrados de alfombra se cortaron en 20 pedazos de igual superficie. ¿Qué tienen en común estas dos situaciones?

19. 6 alfajores se repartieron entre 5 personas y otros 9 iguales a los anteriores entre 2 personas. Yo participé en los dos repartos. ¿Cuántos me dieron en total?.

20. Repartieron 10 piezas de crealina entre 8 niñas. ¿Cuánto es el doble de lo que le toca a cada una?.

21. Repartir entre dos cada tercio de una herencia. ¿Qué parte resulta?

Sus respuestas

1. Puedo afirmar que había la misma cantidad porque no sobraron alumnos ni distintivos. Existe una función biyectiva entre el conjunto de los alumnos y el de los distintivos que asegura que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Se trata de un caso de igualdad de números naturales.

2. En total hay 14 libros. Es una suma en N que tienen que ver con la unión de conjuntos disjuntos.

3. Este problema no tiene solución.

26 - (15 + 15) = 26 - 30

No tiene solución en N y no es porque los números naturales sean más elementales que los enteros. No es que después vayamos a aprender los números negativos y calculemos 26 - 30 = -4 y entonces sí se podrán sacar 30 manzanas una caja en la que hay 26. Este problemas no tiene solución porque los números naturales están diseñados para contar elementos de un conjunto, así como contamos manzanas en una caja y de la caja no se pueden sacar más objetos de los que hay. El cálculo 26 - 30 que tiene solución en Z se referirá a otro tipo de problemas interpretables con números enteros. Dicho en otras palabras, los naturales codifican una realidad y los enteros otra; no son los conjuntos de números los que no tienen solución para ciertas operaciones sino que han sido inventados sin esas soluciones porque son los problemas los que no son solucionables.

4. Mary puede formar 6 conjuntos diferentes.

2 x 3 = 6

Es una multiplicación de números naturales que tiene que ver con un producto cartesiano de conjuntos.

5. Hay 13 alumnos en cada aula. Es una división en N:

26 : 2 = 13

6. No tiene solución.

31 : 2 no tiene solución en N porque los números naturales cuentan elementos de un conjunto y los elementos no se pueden partir sin que dejen de ser tales. Basta recordar que un reloj puede pertenecer a un conjunto de relojes pero sus manecillas no; que una palabra puede ser elemento de un conjunto de palabras pero sus letras no pertenecen a ese conjunto. Los conjuntos no son simples bolsas de objetos sino una manera matemática de considerar una colección de ideas. Si se tratara de cortar una alfajor para comerlo usaríamos números que se pueden dividir siempre: los racionales; pero en el caso de los alumnos, tenemos que usar los naturales.

7. A cada uno le corresponde 3/4 de manzana. Es una división en Q:

3 : 4 = 0,75

8. A cada uno le tocan 2 relojes. Es una división en N porque los relojes no se pueden partir sin dejar de ser relojes así que se comportan como los elementos de un conjunto.

9. 5 : 4 no tiene solución en N.

10. No hay forma de partir sin que le toque algo a cada uno. En símbolos el problema es:

3 : x = 0

Para esta limitación del concepto de división la matemática reserva sin resultado las cuentas del tipo:

a : 0, con a distinto de 0

11. Es posible porque venían en sentidos opuestos por la misma ruta. Una recorrió 9 estaciones en un sentido y la otra 9 estaciones en sentido contrario. Para este tipo de situaciones en las que se cuenta en dos sentidos diferentes que se anulan mutuamente (y que no se pueden partir), se inventaron los números enteros. Por medio de un convenio se designa positivos a unos y negativos a los otros.

12. Llegué al noveno si subí o al tercero si bajé. Se trata de suma de números enteros:

(+3) + (+6) = +9 (+3) + (-6) = -3

13. (+45) + (-52) = -7 Se trata de una suma en Z

14. Como no existe un tercio de salto, este problema no tiene solución.

El cálculo (+34) : (+3) no tiene solución en Z.

Los números enteros fueron diseñados para objetos que no se pueden partir.

15. 6 : 2 = 3 es una división en Q pues las barras de chocolate se pueden partir y repartir aunque, en este cálculo no haga falta.

16. 6 : 5 = 6/5 = 1,2 es una división en Q

17. Pepe recibió más.

5/10 > 3/10 relación de orden en Q.

18. Ambas situaciones son representadas por el número racional 7/20. Aquí se aprecia que el número es un ente abstracto; que con un mismo número puedo referirme a situaciones concretas muy variadas. 7/20 tiene sentido sólo si sabemos “siete veintavos de qué”.

19. 6/5 + 9/2 = 57 /10 = 5,7 es una suma en Q.

20. 2 x 10/8 = 5/2 se trata de una multiplicación en Q.

21. 1/3 : 2 = 1/6 Es una división en Q.

La formalización de estas cuestiones es la Teoría de los Conjuntos, la de Número Natural, la de Número Entero y la de Número Racional, que el docente puede ampliar con bibliografía apropiada.

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¿Todos los cachos son medios?

Podemos decir que la enseñanza de las fracciones comienza en segundo grado, o en primero. Sin embargo, como cada persona construye su propio conocimiento, es muy probable que los chicos y las chicas tengan noticias de las fracciones aún antes de que los maestros nos demos cuenta.

Si se habla de ½ nos referimos a la parte que resulta de dividir al entero en 2 partes y que esas partes deben ser iguales.


Una vez vi un grupo de 2° que medían con la regla en centímetros en la clase de matemáticas. Ellos se dieron cuenta de que había objetos, la cartuchera, por ejemplo, que medía “entre 15 y 16 centímetros”. Dio la casualidad que esos chicos estuvieran muy motivados por un programa de televisión que por esos días tenía mucha repercusión; ese programa se llamaba Sorpresa y media. Pero el logo del programa exhibía “½“ en tu texto. A la docente le pareció muy oportuno que sus alumnos usaran ese símbolo matemático, que habían aprendido de tanto verlo en la tele, y que, de paso, habían aprendido a pronunciar como “y media”. Rápidamente decidió que todos esos conceptos eran equivalente y sacralizó en clase:

La cartuchera mide 15 ½ cm.

Cuando me acerqué a uno de los chicos, sin que participara nadie más, le pregunté si eso quería decir que “la cartuchera mide 15 centímetros y un cachito”. Él me dijo que sí. Le pregunté entonces si todos los cachos son medios y, sin dudar, el me contestó: “Claro, todos los cachos son medios”. Esta anécdota muestra a las claras los malentendidos que pueden surgir en la clase de matemáticas porque, por supuesto, todos los pedacitos no son medios, ni siquiera son necesariamente fracciones de un entero. Basta recordar acá que el lado del cuadrado no es una fracción de la diagonal del mismo cuadrado. Pero esas cosas pertenecen a la matemática un poco más elevada. Sin embargo el docente de 1° no tiene que perder de vista que sus alumnos algún día tendrán que acceder a la medida de la diagonal del cuadrado usando como unidad el lado, y otros contenidos que involucran la idea de número.

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Escuchar en la clase de matemática

La comunicación es fundamental para aprender y enseñar. Todos los docentes nos ocupamos de escuchar a los estudiantes durante la clase. Y eso es bueno. Pero en este artículo me quiero referir a otra dimensión de la escucha; una manera que responde a otra cosa, que va más allá de la simple verificación de las respuestas de los estudiantes. Se trata de dedicar gran parte de nuestro trabajo a entender lo que dicen los chicos y también a tratar de descifrar lo que quieren decir. Pero, ¿para qué?

¿Qué hay de interesante para escuchar en lo que dicen los estudiantes?

Sabemos que cada persona construye su propio conocimiento así que si el estudiante no me cuenta cómo lo está armando en su cabeza, o yo no lo escucho con atención, nunca me enteraré qué es lo que sabe y qué es lo que no sabe, cómo llegó a estar seguro, qué dudas tiene, en qué punto se perdió, en base a qué concluye algo equivocado, cómo usó un argumento que no valía para el caso, etcétera.

La otra posibilidad es que yo le “diga cómo deben ser las cosas”, que él lo repita cuando se lo pregunte y yo me quede tan tranquila creyendo que aprendió cuando en realidad lo único seguro es que memorizó lo que yo dije, o lo que el libro de texto dice. Se trata de escuchar para comprender, que el docente escuche con suma atención para comprender el proceso que hace el estudiante.

Con la idea de acompañar en la construcción de los conocimientos, el docente puede valerse del lenguaje para saber en qué ayudar a sus estudiantes. Una cosa es preguntar para que el estudiante responda con algo que ya fue aprobado por el maestro en clase. Por ejemplo, ¿qué es un rectángulo?, que remite a decir una definición aceptada en clase como válida. Otra pregunta bien diferente es ¿qué podés decir de los rectángulos?, que permite observar lo que dice, lo que no dice, cómo lo ordena, si usa gestos o dibujos para comunicarse, etcétera.

La escucha en un sentido más amplio

Hay mucho que “escuchar” cuando habla el estudiante. Un trabajo escrito que pueda ser leído de corrido no es lo mismo que uno que tenga tachones, espacios en blanco, desniveles en la escritura, etcétera.

Dar la solución de un problema no es lo mismo que mostrar los cálculos que se hicieron con símbolos escritos; que a su vez no es lo mismo que explicar oralmente cómo se lo resolvió y aún es diferente que explicar por escrito mediante un texto claro y preciso la resolución del problema. Es que para encontrar la solución de un problema hay que saber, para hablar de lo que se hizo hay que saber un poco más y para escribirlo en un texto hay que saber un poco más todavía.

Si pregunto cuánto vale un ángulo recto seguro que la clase a coro contestará “noventa grados”. Ahora, si pregunto ¿qué es un grado?, habrá una colección de cosas para escuchar, algunas correctas y algunas no, pero todas valiosísimas para aprender matemática.

Dar por aprobado un resultado final es muy distinto de aprobar solo a la vista de todo el procedimiento. Y para estar al tanto del proceso que hace el estudiante hay que escuchar con detenimiento. Pero en el caso de un trabajo incorrecto, la escucha de los detalles de cómo procedió el estudiante es aún más interesante por que suministra el material para la clase próxima. Veamos ejemplos sacados del aula de matemática.

Pregunta: ¿Qué diferencia hay entre un cuadrado y un rombo?

Respuesta: Uno está derecho y el otro no.

Pregunta: ¿Qué clase de números conocés?

Respuesta: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0

Aunque parezca exagerado, estas respuestas las dieron muchos chicos y chicas de unos 15 años. A mí me sorprendió mucho que toda la matemática que pobló sus años anteriores de escolaridad se limitara a estas respuestas. Entonces me pregunto ¿cómo me voy a enterar yo, docente, de estas cosas si me limito a pedirle al estudiante que resuelva una cuenta de dividir con decimales o una multiplicación de fracciones?

Algo más

Cuando hablo de escuchar, me refiero a algo más que oír palabras o leer textos. Estoy pensando en:

  • mirar la postura corporal del estudiante, los gestos que haga;
  • observar su desempeño en alguna actividad manual como cortar, pegar, armar, dibujar, etcétera;
  • ver cómo y para qué usa la calculadora;
  • sus destrezas con el compás la regla, la escuadra y el transportador;
  • apreciar su trabajo en la carpeta, si escribe con lápiz y borra, o con tinta y tacha, si es legible lo que escribe, si está ordenado siguiendo un orden mental determinado y

todo lo que pueda surgir de la actividad.

Para terminar

Para terminar, quiero dejar unas preguntas por si algún docente de los que lean este artículo, se intrigó con la idea de que quizás hay cosas que no conoce todavía de los saberes matemáticos de sus estudiantes y quiere llevarlas a su clase a ver qué pasa. Son preguntas lo suficientemente abiertas como para provocar respuestas que no figuran en los libros y por eso pongan a los chicos en situación de decir. Y así el docente pueda escuchar un poco más que lo de todos los días.

  • Hacé un dibujo de cómo te imaginás el número ochenta y siete.
  • ¿Cómo te das cuenta que un melón es más pesado que una uva?
  • Cortá este papel glasé en tercios.
  • Dibujá las formas geométricas que más te gustan.
  • Dibujá las figuras geométricas que menos te gustan.
  • ¿Cómo calculás veintitrés más dieciocho?
  • ¿Qué palabras de matemática conocés pero no sabés qué significan?
  • Explicá cómo harías para estar seguro que dos rectas son paralelas.

Para más cuestiones relacionadas con este material ver www.MatematicaClara.com o  www.IsabelOrtega.com.ar

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